EVA P3

Evaluación permanente 3

NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son una extencion de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraica-mente cerrado . El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo   el conjunto de los números reales se cumple que   (  está estrictamente en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un numero real y un numero imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física(notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del calculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

DEFINICIÓN:

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

Resta

División

Al número   se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo   se denomina número imaginario puro. Puesto que   se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.

Unidad imaginaria:

Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i (j en física), llamado unidad imaginaria, definido como

Que satisface la siguiente igualdad:

De donde resulta:

Tomando en cuenta que , cabe la identificación

Valor absoluto o módulo de un número complejo

La formula de Euler ilustrada en el plano complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclidea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica comoz = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida formula de Euler .

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

Para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de limites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

 ALGORITMO

1° DECLARACIÓN

Z= (a+b)……………………………Z=Primer número complejo

Y= (c+d)……………………………Y=segundo número complejo

R= (Z+Y)…………………………..R=RESULTADO

2° ASIGNACIÓN

a=parte real del primer número complejo

b=parte imaginaria del primer número complejo

c=parte real de segundo número complejo

d=parte imaginaria del segundo número real

3° PROCESO

Z+Y=

4°RESULTADO

R

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

 

DECLARACIÓN

a=parte real del primer número complejo b=parte imaginaria del primer número complejo c=parte real de segundo número complejo d=parte imaginaria del segundo número real

Z= (a+b) Y= (c+d) R= (Z+Y)

                    

ASIGNACION

Z= (a+b)

Y= (c+d)

R= (Z+Y)

                                                                                                                                       PROCESO

Z+Y=(a,b) + (c, d) = (a+c, b+d)

 

                                                                                                                               RESULTADO

                                                                R                                         

FIN